Что такое ортогональные преобразования

37. Ортогональные линейные преобразования

Определение 53. Линейное преобразование J Евклидова пространства Е называется Ортогональным, если для любых векторов А и В из Е выполняется условие

Свойства ортогональных преобразований.

Пусть J – ортогональное преобразование пространства Е.

| А| = = = | J(А)|.

20. = Для любых векторов А И .

Справедливо и обратное. Если в Еn зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (50), задаёт ортогональное преобразование.

Определение 54. Квадратная матрица А Называется Ортогональной, если

Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.

Доказательство Следует из свойства 30 и определения 53.

Теорема 49. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.

Доказательство Следует из формулы 51.

Теорема 50. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.

А = .

Если К ¹ р, Т. е. J(Ек) ^ J(Ер). Так как векторы системы J(Е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т. е. J(Е) – базис. Итак, J(Е) – ортонормированный базис.

Ü Пусть Е и J(Е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = (J(Ек))2 = И 0 = (J(Ек), J(Ер)) = А1к×а1р + А2к×а2р + … + Аnк×аnр при К ¹ р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.

Теорема 51. Если матрица А Ортогональная, то |А | = ± 1.

Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1 или (–1).

Доказательство. Пусть L – собственное значение ортогонального преобразования J.

Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.

Источник

Ортогональное преобразование

Смотреть что такое «Ортогональное преобразование» в других словарях:

ортогональное преобразование — (МСЭ Т J.240). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN orthogonal transformOT … Справочник технического переводчика

ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов. * * * ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, линейное преобразование… … Энциклопедический словарь

ортогональное преобразование — ortogonalioji transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal transformation vok. orthogonale Transformation, f rus. ортогональное преобразование, n pranc. transformation orthogonale, f … Fizikos terminų žodynas

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование Аевклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. О. п. и только они переводят ор тонормированный базис в ортонормированный. Необходимым и достаточным условием… … Математическая энциклопедия

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Естествознание. Энциклопедический словарь

Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Источник

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Полезное

Смотреть что такое «ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ» в других словарях:

ортогональное преобразование — (МСЭ Т J.240). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN orthogonal transformOT … Справочник технического переводчика

ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов. * * * ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, линейное преобразование… … Энциклопедический словарь

ортогональное преобразование — ortogonalioji transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal transformation vok. orthogonale Transformation, f rus. ортогональное преобразование, n pranc. transformation orthogonale, f … Fizikos terminų žodynas

Ортогональное преобразование — Линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует Ортогональная матрица. О. п.… … Большая советская энциклопедия

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Естествознание. Энциклопедический словарь

Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Источник

ортогональное преобразование

Смотреть что такое «ортогональное преобразование» в других словарях:

ортогональное преобразование — (МСЭ Т J.240). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN orthogonal transformOT … Справочник технического переводчика

ортогональное преобразование — ortogonalioji transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal transformation vok. orthogonale Transformation, f rus. ортогональное преобразование, n pranc. transformation orthogonale, f … Fizikos terminų žodynas

Ортогональное преобразование — Линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует Ортогональная матрица. О. п.… … Большая советская энциклопедия

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование Аевклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. О. п. и только они переводят ор тонормированный базис в ортонормированный. Необходимым и достаточным условием… … Математическая энциклопедия

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Естествознание. Энциклопедический словарь

Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Источник