Что такое парабола и гипербола в алгебре

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)
\(A + Dx + Ey + F = 0\;\left( \right) \),
или в эквивалентной форме
\(y = a + bx + c,\;\;p = \large\frac<1><2a>\normalsize\)

Уравнение директрисы
\(y = — \large\frac

<2>\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса
\(F\left( <, + \large\frac

<2>\normalsize> \right)\)

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)
\(y = a,\;\;p = \large\frac<1><<2a>>\normalsize\)

Координаты вершины
\(M \left( <0,0>\right)\)

Источник

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Парабола

Гипербола

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

Высшая математика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Чтобы уравнение Ах 2 + Вх + Ау 2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х 2 и у 2 были равны, чтобы В 2 + С 2 — 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Эллипс — сжатая окружность (рис. 3).

Прямая АА₁ называется осью сжатия, отрезок АА₁ = 2а — большой осью эллипса, отрезок ВВ₁ = 2b — малой осью эллипса (a > b) точка О — центром эллипса, точки А, А₁, В, В₁ — вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 — k = (a — b) / a — сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же значение 2а (F₁M + FM = 2a) (рис. 4).

Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). F₁M — FM = 2a. Точки F, F₁ называются фокусами гиперболы, расстояние FF₁ = 2c — фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х 2 / а 2 + у 2 / (а 2 — с 2 ) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = — bx / a (b 2 = c 2 — a 2 ).

Парабола — это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы — точка О. Каноническое уравнение параболы: у 2 = 2рх.

Источник

Гипербола и парабола

Кривая второго порядка (4.17) называется гиперболой (точнее кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС 0, С 0; 2) 8 = 0; 3) 8 0) имеем гиперболу, каноническое уравнение которой

где a = I— — действительная полуось; о = — — мнимая noil А V —С

чения, большие 1. Вершины гиперболы — точки А₁ (а; 0), А₂ (

характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Перепишем уравнение гиперболы (4.21) в виде

угодно близко подходят к прямым у = ±—х, называемым асим-

Для равносторонней гиперболы <а= Ь) х 2 — у 2 = а 2 асимптоты у = ±х взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.

Во втором случае (при 8 = 0) уравнение кривой (4.17) примет

вид — — — =0, т.е. получаем пару пересекающихся прямых

В третьем случае (при 5 2 Ъ 2

гиперболой (4.22) (на рис. 4.20 она изображена пунктиром).

ми у = ±—х, проходящими через точку (6; 3/2). Найти расстояние 4

между ее вершинами.

Решение. Так как точка (6; 3/2) лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению 36 9

ме того, — = —, так как а 4

асимптоты гиперболы 3

Рассмотрим обратную пропорциональную зависимость,

задаваемую уравнением у = —

Выбрав в качестве новых осей Ох’ и Оу’ биссектрисы координатных углов (рис. 4.22), представим уравнение (4.24) через новые координаты х’ и у’. Пусть ОМ = г, тогда так как из А ОМВ’ г cos а = х г sin а = у’.

(см. рис. 4.23) уравнение примет

Итак, график дробно-линейной функции (4.25) есть равносто-

ронняя гипербола с асимптотами х — —; у = —, параллельными

О Пример 4.10. Найти координаты центра, вершин и урав-

Решение. Преобразуем уравнение, выделив целую часть дробно-линейной функции:

Полагая х + 1 = х’, у + 2 = у получим х’у’ — 5, т.е. заданное уравнение есть уравнение равносторонней гиперболы с центром О’ (— 1;—2) и асимптотами

х + 1 = 0, у + 2 = 0 (рис. 4.24).

Так как т = 5 > 0, то гипербола располагается в I и III квадрантах, а новые координаты ее вершин (±л/5 ; ±V5). Переходя к старым координатам по формулам х=х’ — 1, у = у’

2, найдем старые координаты вершин гиперболы А (— V5— 1; — 2),

Пусть в уравнении кривой второго порядка (4.13) В = 0, а также один из коэффициентов А или С равен нулю; для определенности А = 0, Сф 0, т.е.

Пусть также D ф 0 (в противном случае мы имели бы пару параллельных горизонтальных прямых у = у₁ и у = у₂, где у, и у₂ — корни уравнения Су 2 + Еу + F =0 или отсутствие каких-либо линий и точек вообще). Дополним члены, содержащие у, до полного квадрата

Для произвольной точки М (х, у) параболы расстояние до фокуса по формуле (3.5) равно

(так как х + — > 0). С другой стороны, расстояние до директрисы MN = х + у (рис. 4.26).

Таким образом, парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Если в уравнении (4.28) поменять местами х и у, то получим х 2 = 2ру — уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение

ветви параболы направлены вверх, при А 2 + Вх + С (А ф 0).

Отсюда у = А(х 2 + — х + —). Дополнив выражение, стоящее А А

Обозначив х + — = х’, у —-= у‘, в новой системе

Таким образом, график квадратного трехчлена у = Ах 2 + Вх + С

симметрии х = » параллельной оси Оу.

D> Пример 4.11. Построить кривую у = — Зх 2 + 10х — 3.

Решение. Вынося коэффициент при х 2 и дополняя правую часть уравнения до полного квадрата, получим

Таким образом, заданная кривая есть парабола с вершиной в точке О’ (^; )

Источник

Содержание:

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

Пример:

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник