в поле комплексных чисел решить уравнение
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Поле комплексных чисел
Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:
Сложение и вычитание в поле комплексных чисел
Суммой комплексных чисел и называется комплексное число
Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:
а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: ;
б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: ;
в) существует нулевой элемент ; нулевой элемент обозначается просто символом нуль ;
г) для каждого комплексного числа существует противоположный ему элемент
Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел и называется комплексное число
Умножение и деление в поле комплексных чисел
Произведением комплексных чисел и называется комплексное число
Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:
в) существует единичный элемент ; единичный элемент обозначается просто символом единица: ;
Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).
Частным двух чисел и называется комплексное число
Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:
Таким образом, множество комплексных чисел является полем.
Решение. По определению операций получаем
Сопряженные числа в поле комплексных чисел
Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:
Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:
Решение. Пусть — корень уравнения. Тогда
Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем
3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что
Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами
Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:
Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.
Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.
…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…
Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:
А сейчас ключевое правило:
НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!
На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.
Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.
Обозначим наше достижение буквой
Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:
Вычислим модуль комплексного числа:
Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.
Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.
Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.
Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.
Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.
Ответ:
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».
Краткое решение и ответ в конце урока.
Нередко задача допускает не единственный путь решения:
Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.):
Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.
В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:
Ответ:
Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:
Краткое решение и ответ в конце урока.
Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:
Уравнения с комплексными коэффициентами
Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =)
В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:
Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :
Уверенно упрощаем среднюю дробь:
Результат переносим в правую часть и находим разность:
По правилу пропорции выражаем «зет»:
Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:
Ответ:
В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:
– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.
…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:
Конечно же… как можно без него прожить:
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:
Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений:
Найти корни квадратного уравнения
Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.
Для удобства выпишем коэффициенты:
Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :
А вот и главное препятствие:
Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:
Возведём обе части в квадрат:
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:
Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:
Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:
Не помешает промежуточная проверка:
что и требовалось проверить.
В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:
Находим корни, не забывая, кстати, что :
Ответ:
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :
Таким образом, решение найдено правильно.
По мотивам только что разобранной задачи:
Найти корни уравнения
А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом 🙂
Решить уравнение и выполнить проверку
Решения и ответы в конце урока.
Заключительный параграф статьи посвящён
системе уравнений с комплексными числами
Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.
Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:
, значит, система имеет единственное решение.
Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:
Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:
Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части, ч.т.п.
Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:
1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:
Ответ:
Решить систему уравнений
Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме.
Краткое решение совсем близко.
И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике.
На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!
Пример 4: Решение:
Пример 6: Решение:
Умножим обе части уравнения на :
Ответ:
Проверка: подставим в исходное уравнение :
верное равенство;
верное равенство.
Что и требовалось проверить.
Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера:
Таким образом, система имеет единственное решение.
Найдём произведение корней:
Представим результат в тригонометрической форме:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Решение квадратного уравнения в поле комплексных чисел (классы с наследованием)
Добрый вечер, написал классы «Квадратное уравнение» и «Комплексное число», теперь преподаватель дал задание соединить их, используя наследование, чтобы в итоге программа решала квадратное уравнение в поле комплексных чисел.
И у меня возникла проблема с функцией для вычисления корней. Как сделать так, чтобы вместо коэффициентов a, b и с в формуле использовались объекты класса Comlpex a.r, a.i и т.д.
Буду благодарен за помощь.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Решение квадратного уравнения в комплексных числах
Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста, с программой, решающей квадратное уравнение в.
Решение квадратного уравнения (через классы)
Создать класс для вычисления квадратного уравнения, поля коэф.уравнения, методы само решение.
Решение квадратного корня c инкапсуляцией, полиморфизмом и наследованием
Написать программу решения квадратного корня с Инкапсуляцией,полиморфзимом и наследованием. В.
Решение
Добавлено через 1 минуту
Теорию можно посмотреть здесь http://fxdx.ru/page/reshenie-k. nyh-chisel
Добавлено через 4 минуты
Немного не точноAleksey30, А что у Вас за конструктор с тремя параметрами?
Для чего Вы передаёте в него три параметра, если ни один из них не используете?
Элд Хасп, да уж, сам не знаю почему это сделал, конструктор исправил.
За теорию и похожее задание спасибо, сегодня почитаю.
Для ссылочного типа, в аналогичном случае, буде false.
То же самое для комплексного числа. Сделав его классом, а не значимым типом Вы теряете возможность (по умолчанию) предавать и сравнивать его по значению.
Это не есть правильно. 
Значимые типы создавать явно наследуя от ValueType в C# невозможно (или я не знаю как). Для этого используются структуры.
Поэтому, я всё же думаю, выбор класса вместо структуры для комплексного числа это всё же неверный выбор.
Что касается наследования при дальнейшем решении, то Вы всё равно не можете наследовать от двух классов. Поэтому Вы можете сделать производный класс для решения квадратного уравнения, но не можете сделать класс производный от решения квадратного уравнения и комплексного числа одновременно.
Поэтому комплексное число надо сделать всё же структурой и использовать эту структуру в производном классе для решения квадратного уравнения.
Добавлено через 27 минут
Так же, для упрощения, можно ввести неявное преобразование вещественного числа в комплексное.
Вот структура переделанная из Вашего класса
Добавлено через 44 минуты
Если делать Complex классом, то надо обязательно переопределять методы и операторы сравнения.